LOGARİTMA

1. TANIM

aR⁺ -{1} ve x R⁺ olmak üzere, a^y = x eşitliğini ele alırsak.

Bu eşitlikte; a değerini bulmak için kök alma, x değerini bulmak için kuvvet (üs) alma , y değerini bulmak içinde logaritma işlemi yapılır.

aR⁺-{1}, xR⁺ ve yR olmak üzere,

ay=x  y=log_a x tir.

Burada; y sayısı , x sayısının a tabanına göre logaritmasıdır.

Örnekler:

1) log₂ 8 = y  8= 2^y  y = 3 tür.

2) log_a 64 = 3  64 = a³  a = 4 tür.

3) log₃ x = -2  x = 3^-2  x = dur.

4) log_a a = x  a = a^x  x = 1 dir.

5) log_a 1 = n  1 = aⁿ  n = 0 dır.

6) log₅ (-25) v= m  -25 = 5^m  mR dir.

Sonuç olarak:

1) log_a a = 1

2) log_a 1 = 0

3)y = log_a f(x)  f(x) > 0

Örnek:

Log₅ (log₃ (log₂ x) ) = 0 olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm:

Log₅ (log₃ (log₂ x) ) = 0  log₃ (log₂ x ) = 5⁰ = 1  log₂ x = 3¹  x = 2³ = 8 dir.

Örnek:

Log₃ (a³.b.c) = 5 log₃ = 1 olduğuna göre, a.b çarpımını bulalım.

Çözüm:

log₃(a³.b.c) = 5  a3.b.c = 3⁵

log₃=1  =3¹

x

a3.b3 = 3⁶

a.b = 3²

a.b = 9 dur.

Örnek:

log ₃a = 3 ve logb = 4 olduğuna göre a.b çarpımını bulalım.

Çözüm:

log ₃a = 3  a = ³  a = 2 dir.

logb = 4  b = ⁴  b = 9 dur.

Buradan, a.b = 18 dir.

2. ÖZEL LOGARİTMALAR

a) Bayağı Logaritma

y = log₁₀ x = log x fonksiyonuna 10 tabanında logaritma veya bayağı logaritma denir.

Örnek:

log₁₀ 10 = log10 = 1 dir.

b) Doğal Logaritma

e = 2,71828…. olmak üzere,

y = log_e x = ln x fonksiyonuna doğal logaritma denir.

Örnek:

Log_e e = ln e = 1 dir.

3. LOGARİTMANIN ÖZELLİKLERİ

x,yR⁺ ve a R⁺ - {1} olmak üzere,

1) log_a (x.y) = log_a x + log_a y

2) log_a = log_a x – log_a y

3) log x^m = log_a x

4) log_a x = log_a y  x = y dir.

Örnek:

1) log 5 + log 2 = log (5.2) = log 10 =1

2) log 300 – log 3 = log = log 100 = log (10²) = 2. log 10 =2

3) log₂₅ 125 = log5³ = log₅ 5 =

Örnek:

log (2x-y) = log x + log y olduğuna göre, y nin x türünden eşitini bulalım.

Çözüm:

log (2x-y) = log x + log y  log (2x-y) = log (x.y)

 2x – y = x.y

 2x = x.y +y

 2x = y. (x+1)

 y = dir.

Örnek:

log (a.b) = 3

log = 1 olduğuna göre, a değerini bulalım.

Çözüm:

log (a.b) = 3  log a + log b = 3

log = 1  log a – log b = 1

+

2 log a = 4

log a = 2

a= 10₂ = 100 dür.

Örnek:

log₂ işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

log₂ = log₂ =log₂ = log₂ 2 = tür.

Örnek:

a = olduğuna göre, log_b değerini bulalım.

Çözüm:

a =  log_b = log_b = log_b = log_b b = tür.

Örnek:

log 5 = a, log 3 = b, log 2 = c olduğuna göre, log (22,5) ifadesinin a,b,c türünden eşitini

bulalım.

Çözüm:

log (22,5) = log = log = log 5 + log 3² – log 2 = log 5 + 2log 3 – log 2

= a + 2b – c dir.

Örnek:

Log₅ x² = 6 + log ₅ olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm:

Log₅ x² = 6 + log ₅  2. log₅ x = 6 + log₅ x^-1

 2. log₅ x = 6 – log₅ x

 3. log₅ x = 6

 log₅ x = 2

 x = 5² = 25 tir.

Örnek:

log 5 = n olduğuna göre, log 4 değerinin n türünden eşitini bulalım.

Çözüm:

log 4 = 2 log 2 = 2 log = 2. ( log10-log5) = 2(1-n) dir.

aR⁺, a1 ve xR⁺ olmak üzere,

a= x tir. dır.

Örnek:

3= 5, e ^ln3 = 3 ve 10^logA =A dır.

Örnek:

9= 10= 10= 10² = 100 dür.

Taban Değiştirme Kuralı:

ve R⁺ olmak üzere,

= = = dır.

Not:

ve R⁺ olmak üzere,

, olur.

Örnek:

log₂5 = olduğuna göre, log₅10 ifadesinin türünden eşitini bulalım.

Çözüm:

log₅10 = = = olur.

4. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğu için ters fonksiyonu vardır ve bu fonksiyona logaritma fonksiyonu denir.

Y = log_a x fonksiyonunun grafiği a nın durumuna göre çizilirse,

1. a>1 için y

y = a^x

1

x

1

y = x y = log_a x

y

2. 0<a<1 için y = a^x

y = x

1

x

1

y = log_a x

grafikleri elde edilir.

Not:

y = log_a (mx + n)fonksiyonunun grafiği, aşağıdaki işlemler yapılarak çizilir.

1) Logaritmanın tanımından, f(x) in grafiği, mx + n > 0 şartının sağlandığı bölgededir.

2) y = 0 ve y = 1 için sırasıyla x₀ ve x₁ değerleri bulunur. Grafik, (x₀,0) ve (x₁,1) noktalarından geçer.

Örnek:

f(x) = log₂ (x-1) fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm:

f(x) fonksiyonu, x-1>0  x>1 için tanımlıdır.

y = 0 için, log₂ (x-1) = 0  x = 2 ve

y = 1 için, log2 (x-1) = 1  x = 3

olduğundan grafik (2,0) ve (3,1) noktalarından geçer. Taban 1 den büyük olduğundan, verilen fonksiyonun grafiği,

y

1

0

x

1 2 3

y = log₂(x-1)

5. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TERSİ

aR⁺-{1} ve xR⁺ olmak üzere,

f(x) = log_a x  f ^-1 (x) = a^x tir.

Örnek:

f(x) = log₅x  f ^–1 (x) = 5^x tir.

Örnek:

f(x) = y = 2log₅ x  x = 2.log₅ f ^–1 (x)

= log₅ .f ^–1(x) = f ^–1(x)

f ^–1 (x) = tir.

6. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

Bir eşitsizlik içinde bilinmeyenin logaritması varsa bu tür eşitsizliklere logaritmalı eşitsizlikler denir.

1) a>1 olmak üzere,

log_a f(x) log_a g(x)  f(x) g(x) (eşitsizliğin yönü değiştirilmez.)

2) 0<a<1 olmak üzere,

log_a f(x) log_a g(x)  f(x) g(x) (eşitsizliğin yönü değiştirilir.)

Örnek:

log₃ (log₂(x-1)) > 0  log₂ (x-1) > 3⁰ = 1

 x-1 > 2¹

 x > 3 tür.

Örnek:

log₂(x-3)<4  0 < x-3 <2⁴

 3<x<19 dur.

Örnek:

log(3x-1) < 0  log(3x-1) < 0

 -log₂ (3x-1) < 0

 log2 (3x-1) > 0

3x-1 > 1

x > tür.

7. BAYAĞI LOGARİTMA

a) Karekteristik ve Mantis

xR+ , kZ ve 0m<1 olmak üzere, log x = k+m eşitliğinde k tamsayısına x in logaritmasının karekteristiği, m reel sayısına da x in logaritmasının mantisi denir.

Örnek:

log 30 = 1,477 ifadesinde, 30 sayısının logaritmasının karekteristiği1 ve mantisi 0,477 dir.

Örnek:

log2 = 0,301 olduğuna göre, log(800) değerinin karekteristik ve mantisini bulalım.

Çözüm:

log (800) = log (2³.10²) = 2 + 3 log2

= 2 + 3. (0,301)

= 2 + 0,903

= 2,903 olduğundan,

karekteristik 2 ve mantis 0,903 olur.

Not:

ve

olduğuna dikkat edilmelidir.

Uyarı:

1 den büyük pozitif tamsayıların basamak sayısı, sayının logaritmasının karekteristiğinin bir fazlasıdır.

Örnek:

log 2 = 0,301 olduğuna göre, (40)⁴⁰ sayısının kaç basamaklı bir sayı olduğunu bulalım.

Çözüm:

Log (40)⁴⁰ = 40. log(40)

= 40. (log 2².10)

= 40. (1 + 2 log 2)

= 40. (1+ 0,602)

= 64,08 olduğundan, karekteristik 64 ve basamak sayısı 65 tir.

b) Kologaritma:

xR⁺ olmak üzere, x in çarpmaya göre tersinin logaritmasına x in kologaritması denir ve colog x biçiminde gösterilir.

Colog x = log = log x ^–1 = - log x tir.

Örnek:

log x = 1,73 olduğuna göre, colog x in karekteristiğini ve mantisini bulalım.

Çözüm:

log x = 1,73  colog x = - log x = -1,73 = -2 + 0,27 = dir.

colog x in karekteristiği –2 ve mantisi 0,27 dir.

Örnek:

log A = olduğuna göre , colog A değerini bulalım.

Çözüm:

log A =  colog A = - ()

= - (-3 + 0,52)

= 3 – 0,52

= 2,48 dir