Logaritma

 

LOGARİTMA

 

1. TANIM

 

aR+ -{1} ve x R+ olmak üzere, ay = x eşitliğini ele alırsak.

Bu eşitlikte; a değerini bulmak için kök alma, x değerini bulmak için kuvvet (üs) alma , y değerini bulmak içinde logaritma işlemi yapılır.

aR+-{1}, xR+ ve yR olmak üzere,

 

ay=x y=loga x tir.

 

Burada; y sayısı , x sayısının a tabanına göre logaritmasıdır.

 

Örnekler:

1) log2 8 = y 8= 2y y = 3 tür.

2) loga 64 = 3 64 = a3 a = 4 tür.

3) log3 x = -2 x = 3-2 x = dur.

4) loga a = x a = ax x = 1 dir.

5) loga 1 = n 1 = an n = 0 dır.

6) log5 (-25) v= m -25 = 5m mR dir.

 

Sonuç olarak:

1) loga a = 1

2) loga 1 = 0

3)y = loga f(x) f(x) > 0

 

Örnek:

Log5 (log3 (log2 x) ) = 0 olduğuna göre, x değerini bulalım.

 

Çözüm:

Log5 (log3 (log2 x) ) = 0 log3 (log2 x ) = 50 = 1 log2 x = 31 x = 23 = 8 dir.

 

Örnek:

Log3 (a3.b.c) = 5 log3 = 1 olduğuna göre, a.b çarpımını bulalım.

 

Çözüm:

log3(a3.b.c) = 5 a3.b.c = 35

log3=1 =31

x

a3.b3 = 36

a.b = 32

a.b = 9 dur.

 

 

 

Örnek:

log 3a = 3 ve logb = 4 olduğuna göre a.b çarpımını bulalım.

 

Çözüm:

log 3a = 3 a = 3 a = 2 dir.

logb = 4 b = 4 b = 9 dur.

Buradan, a.b = 18 dir.

 

 

2. ÖZEL LOGARİTMALAR

 

a) Bayağı Logaritma

y = log10 x = log x fonksiyonuna 10 tabanında logaritma veya bayağı logaritma denir.

 

Örnek:

log10 10 = log10 = 1 dir.

 

b) Doğal Logaritma

e = 2,71828…. olmak üzere,

y = loge x = ln x fonksiyonuna doğal logaritma denir.

 

Örnek:

Loge e = ln e = 1 dir.

 

 

 

3. LOGARİTMANIN ÖZELLİKLERİ

 

x,yR+ ve a R+ - {1} olmak üzere,

1) loga (x.y) = loga x + loga y

2) loga = loga x – loga y

3) log xm = loga x

4) loga x = loga y x = y dir.

 

 

Örnek:

1) log 5 + log 2 = log (5.2) = log 10 =1

2) log 300 – log 3 = log = log 100 = log (102) = 2. log 10 =2

3) log25 125 = log53 = log5 5 =

 

Örnek:

log (2x-y) = log x + log y olduğuna göre, y nin x türünden eşitini bulalım.

 

Çözüm:

log (2x-y) = log x + log y log (2x-y) = log (x.y)

2x – y = x.y

2x = x.y +y

2x = y. (x+1)

y = dir.

 

Örnek:

log (a.b) = 3

log = 1 olduğuna göre, a değerini bulalım.

 

Çözüm:

log (a.b) = 3 log a + log b = 3

log = 1 log a – log b = 1

+

2 log a = 4

log a = 2

a= 102 = 100 dür.

Örnek:

log2 işleminin sonucunu bulalım.

 

Çözüm:

log2 = log2 =log2 = log2 2 = tür.

 

Örnek:

a = olduğuna göre, logb değerini bulalım.

 

Çözüm:

a = logb = logb = logb = logb b = tür.

 

Örnek:

 

log 5 = a, log 3 = b, log 2 = c olduğuna göre, log (22,5) ifadesinin a,b,c türünden eşitini

bulalım.

 

 

Çözüm:

 

log (22,5) = log = log = log 5 + log 32 – log 2 = log 5 + 2log 3 – log 2

= a + 2b – c dir.

 

Örnek:

Log5 x2 = 6 + log 5 olduğuna göre, x değerini bulalım.

 

Çözüm:

Log5 x2 = 6 + log 5 2. log5 x = 6 + log5 x-1

2. log5 x = 6 – log5 x

3. log5 x = 6

log5 x = 2

x = 52 = 25 tir.


Örnek:

 

log 5 = n olduğuna göre, log 4 değerinin n türünden eşitini bulalım.

 

Çözüm:

 

log 4 = 2 log 2 = 2 log = 2. ( log10-log5) = 2(1-n) dir.

 

aR+, a1 ve xR+ olmak üzere,

 

a= x tir. dır.

 

Örnek:

3= 5, e ln3 = 3 ve 10logA =A dır.

 

Örnek:

9= 10= 10= 102 = 100 dür.

 

Taban Değiştirme Kuralı:

 

ve R+ olmak üzere,

= = = dır.

 

 

 

 

 

 

Not:

ve R+ olmak üzere,

, olur.

 

Örnek:

log25 = olduğuna göre, log510 ifadesinin türünden eşitini bulalım.

 

Çözüm:

 

log510 = = = olur.

 

 

4. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

 

Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğu için ters fonksiyonu vardır ve bu fonksiyona logaritma fonksiyonu denir.

 

 

Y = loga x fonksiyonunun grafiği a nın durumuna göre çizilirse,

 

1. a>1 için y

y = ax

 

1

 

x

1

 

y = x y = loga x

 

 

 

 

y

2. 0<a<1 için y = ax

y = x

 

1

 

x

1

 

y = loga x

 

 

 

 

grafikleri elde edilir.

Not:

 

y = loga (mx + n)fonksiyonunun grafiği, aşağıdaki işlemler yapılarak çizilir.

1) Logaritmanın tanımından, f(x) in grafiği, mx + n > 0 şartının sağlandığı bölgededir.

2) y = 0 ve y = 1 için sırasıyla x0 ve x1 değerleri bulunur. Grafik, (x0,0) ve (x1,1) noktalarından geçer.

 

 

Örnek:

f(x) = log2 (x-1) fonksiyonunun grafiğini çizelim.

 

Çözüm:

f(x) fonksiyonu, x-1>0 x>1 için tanımlıdır.

y = 0 için, log2 (x-1) = 0 x = 2 ve

y = 1 için, log2 (x-1) = 1 x = 3

olduğundan grafik (2,0) ve (3,1) noktalarından geçer. Taban 1 den büyük olduğundan, verilen fonksiyonun grafiği,

 

 

 

y

 

 

 

 

1

 

 

0

x

1 2 3

y = log2(x-1)

 

 

5. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TERSİ

aR+-{1} ve xR+ olmak üzere,

f(x) = loga x f -1 (x) = ax tir.

 

 

Örnek:

 

f(x) = log5x f –1 (x) = 5x tir.

 

Örnek:

f(x) = y = 2log5 x x = 2.log5 f –1 (x)

= log5 .f –1(x) = f –1(x)

f –1 (x) = tir.

 

 

6. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

 

Bir eşitsizlik içinde bilinmeyenin logaritması varsa bu tür eşitsizliklere logaritmalı eşitsizlikler denir.

1) a>1 olmak üzere,

loga f(x) loga g(x) f(x) g(x) (eşitsizliğin yönü değiştirilmez.)

2) 0<a<1 olmak üzere,

loga f(x) loga g(x) f(x) g(x) (eşitsizliğin yönü değiştirilir.)

 

 

Örnek:

log3 (log2(x-1)) > 0 log2 (x-1) > 30 = 1

x-1 > 21

x > 3 tür.

 

Örnek:

log2(x-3)<4 0 < x-3 <24

3<x<19 dur.

 

Örnek:

log(3x-1) < 0 log(3x-1) < 0

-log2 (3x-1) < 0

log2 (3x-1) > 0

3x-1 > 1

x > tür.

7. BAYAĞI LOGARİTMA

 

a) Karekteristik ve Mantis

 

xR+ , kZ ve 0m<1 olmak üzere, log x = k+m eşitliğinde k tamsayısına x in logaritmasının karekteristiği, m reel sayısına da x in logaritmasının mantisi denir.

 

Örnek:

 

log 30 = 1,477 ifadesinde, 30 sayısının logaritmasının karekteristiği1 ve mantisi 0,477 dir.

 

Örnek:

 

log2 = 0,301 olduğuna göre, log(800) değerinin karekteristik ve mantisini bulalım.

 

Çözüm:

 

log (800) = log (23.102) = 2 + 3 log2

= 2 + 3. (0,301)

= 2 + 0,903

= 2,903 olduğundan,

karekteristik 2 ve mantis 0,903 olur.

Not:

ve

olduğuna dikkat edilmelidir.

 

Uyarı:

 

1 den büyük pozitif tamsayıların basamak sayısı, sayının logaritmasının karekteristiğinin bir fazlasıdır.

 

Örnek:

 

log 2 = 0,301 olduğuna göre, (40)40 sayısının kaç basamaklı bir sayı olduğunu bulalım.

 

Çözüm:

Log (40)40 = 40. log(40)

= 40. (log 22.10)

= 40. (1 + 2 log 2)

= 40. (1+ 0,602)

= 64,08 olduğundan, karekteristik 64 ve basamak sayısı 65 tir.

 

b) Kologaritma:

 

xR+ olmak üzere, x in çarpmaya göre tersinin logaritmasına x in kologaritması denir ve colog x biçiminde gösterilir.

 

Colog x = log = log x –1 = - log x tir.

 

Örnek:

 

log x = 1,73 olduğuna göre, colog x in karekteristiğini ve mantisini bulalım.

 

Çözüm:

 

log x = 1,73 colog x = - log x = -1,73 = -2 + 0,27 = dir.

colog x in karekteristiği –2 ve mantisi 0,27 dir.

 

Örnek:

 

log A = olduğuna göre , colog A değerini bulalım.

 

Çözüm:

 

 

log A = colog A = - ()

= - (-3 + 0,52)

= 3 – 0,52

= 2,48 dir

Reklam
 
 
ANA SAYFAN YAP
Reklam Alanı
 
 
Bu güne kadar 3009 ziyaretçi (6918 klik) kişi burdaydı!
=> Sen de ücretsiz bir internet sitesi kurmak ister misin? O zaman burayı tıkla! <=